Perímetro e Área de Figuras Geométricas Planas

Ola Pessoal,


Hoje vamos descobrir um pouco sobre área e perímetro de figuras geometricas.

Perímetro

Voce sabe o que é perimetro? Perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura geometrica. Por exemplo, se voce tiver um quadrado de lado 3, podemos afirmar que o perimetro deste quadrado é 12. Por que? Simples, Lembre-se que um quadrado tem 4 lados de mesma medida, então para calcularmos o perímetro do quadrado basta fazermos

3+3+3+3 =  4 x 3 = 12

Área

Área é a quantidade de espaço que uma figura ocupa no plano. Mas como surgiu e pra que serve esse conceito?

Antes de falarmos sobre area precisamos entender o que significa geometria. Sabe-se que geometria que conhecemos hoje surgiu no Egito Antigo e significa medida da terra.

Como o proprio nome diz os egipcios precisavam medir a terra, inclusive para arrecadação de impostos. Na verdade o problema era o seguinte. 

O Egito, embora tenha um clima árido, possui uma região muito fertil nos vales proximos aos rio, principalmente na região do rio Nilo. 

 Essa região era cultivavel mas sofria inundações em determinadas epocas, ou seja, dependendo da epoca tinha-se maior espaço cultivavel ou menor espaço cultivavel. Observe uma coisa, os impostos eram cobrados sobre a quantidade deste espaço cultivavel. Se essa variação de espaço cultivavel acontecia, como saber o valor do imposto que deveria ser cobrado?

Justamente, era preciso medir o espaço que se tinha disponivel para cultivo, para que o imposto fosse justo. Viram a necessidade do conceito de area? Imagine hoje o transtorno que seria sem esse conceito.

Área do Retangulo

Como sabemos um retangulo possui duas dimensões, a base e a altura.

Afirmamos que a area do retangulo, ou seja, o espaço que o retangulo ocupa no plano é dado pela formula

A =  b x h

Mas será que existe alguma explicação para isso?

Assim como tudo na matematica, os conceitos surgem para sanar algum problema vivido. Portanto não podemos aceitar essa formula obtida como se alguem tivesse inventado-a do nada! Observe,

Imagine um retângulo com a superfície dividida em quadradinhos de lados iguais a um centímetro. 

Nesse retângulo obtivemos 6 colunas contendo 4 quadradinhos cada coluna. A pergunta que podemos fazer é qual a quantidade de quadradinhos que aparece nessa figura? Facil, se contarmos veremos que aparecem 24 quadradinho, ou seja,

6 colunas x  4 quadradinhos cada coluna  =  24 quadradinhos

Dessa forma podemos perceber porque a Área do retangulo é 

Área = base (b) x altura (h). 

Entendeu?

Nota:  Lembre-se que todo quadrado também é um retangulo, assim podemos calcular a área do quadrado fazendo A = base x altura. 

Como o quadrado tem todos os lados de mesma medida então a base e a altura terão a mesma medida, concorda?

Por isso podemos dizer tambem que a area do quadrado é dada por

Área = lado x lado  

Área do Paralelogramo

A Area do paralelogramo também é expressa pela formula 

Área  =  base x altura

Para entendermos esta fato, observe que podemos traçar a altura do paralelogramos, separando da figura o triangulo que se  formará. Observe tambem que este trangulo encaixa-se perfeitamente no paralelogramo para formar um retangulo e desse já conhecemos a expressão da área.

Área do Triangulo

 Para entendermos como calcular a area de um triangulo, precisamos notar primeiro que quando tomamos dois triangulos iguais e os unimos, colocando juntos o par de lados iguais, formamos um paralelogramo.

A área do paralelogramo sabemos que é base x altura. Portanto, como precisamos de dois triangulo para formar um paralelogramo, podemos facilmente ver que a área de um triangulo é dada pela metade da área do paralelogramo, ou seja, 

Area  = (base x altura)/2

Área do Losango

Um Losango apresenta duas diagonais perpendiculares (que formam entre si angulo de 90º), a diagonal maior e a diagonal menor.

Observe que um losango forma dois triangulos. Cada triangulo, tem base de medida d e altura de medida D/2. Já sabemos que a area do triangulo é dada por

Portanto a área de cada um destes triangulo é dada por

Ou seja, 

Mas como um losango é formado por 2 destes triangulos, teremos que a Área do Losango é dada por

A Circunferência

Ola Pessoal.

Hoje discutiremos um pouco sobre a circunferencia.

Se você parar para observar as formas existentes na Natureza, no Universo, vai perceber que a maioria das coisas existentes tem formas ovaladas ou arredondadas.

Os Planetas são arredondados, estrelas são ovaladas ou arredondadas, animais, flores, tudo que nos cerca tem formas suaves e levemente arredondadas.

Já parou para pensar nisso?

Sentado à beira do fogo, o homem pré-histórico vislumbrava a Lua cheia e via em seu contorno uma grande circunferência. Algo que lembrava as figuras formadas pelas ondas provocadas na água quando ele atirava uma pedra no lago. A forma circular era tão presente que até nos olhos de seus companheiros lá estava ela, absolutamente perfeita.

A adoção da circunferência no cotidiano da humanidade foi um passo natural: inventou-se a roda. A partir daí, mais e mais aplicações dessa forma geométricas vêm, fazendo parte da nossa vida.

 Corda, Raio e Diametro

A Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência.

O Diametro de uma circunferencia é qualquer corda que passe pelo centro dessas figuras. Desta forma, o diâmetro será a maior corda passando por uma circunferência

O raio de uma circunferência  é definido com a distância do centro a um ponto qualquer da circunferencia. Observe que o raio equivale a metade do diametro.

Dizemos que uma circunferencia tem 360º. 
Mas porque afirmamos isso?

"Não se sabe ao certo o motivo pelo qual se estabeleceu que a circunferência seria dividida em 360 graus. Existem pelo menos duas possibilidades.

Na primeira delas, o número teria sido estabelecido por uma civilização que acreditava ser a terra o centro do universo e cujo calendário teria 360 dias. De acordo com a suposta civilização, o Sol caminharia, então, um grau por dia, totalizando os 360 graus da circunferência.

Outra possibilidade é a de que os babilônios usavam 60 como base para seus cálculos. Por esse motivo, os gregos teriam dividido o raio do círculo em 60 partes."

(Trecho extraido Do Guia dos Curiosos do Saber)

Perimetro de uma circunferencia

Vimos nas postagens anteriores que o perimetro era definido atraves da soma das medidas dos lados da figura geometrica. Mas como saber se o perimetro de uma circunferencia se ela não apresenta um quantidade finita de lados?

Para respondermos a essa questão, basta lembrarmos que essa mesma pergunta já foi feita por nossos antepassados. Os egípicios clocavam cordas sobre as circunferencias (conforme a figura abaixo - corda em marrom)

Mediam o tamanho desta corda e sabiam assim o perimetro desta circunferencia.  Eles observaram entretanto que o perimetro de uma circunferencia era aproximadamente 3 vezes o seu diametro. Ao longo dos tempos as pessoas foram melhorando seus calculos e hoje sabe-se que o perimetro de uma circunferencia é 3,14... vezes o seu diametro. Como esse número, gerado pela razão entre o perimetro de uma circunferencia e seu diametro tem infinitas casas decimais, deram-lhe o nome de uma letra grega,  "pi".

 

 

 Dessa forma, definiu-se que o perimetro de uma circunferencia era  π vezes o diametro, mas como o diametro é 2 vezes o raio (r) podemos dizer que

Perimetro da Circunferencia = π.2.r = 2.π.r

Área da Circunferencia.

Nas postagens anteriores além do perímetro falamos também sobre áreas das figuras geométricas. Como definir a área da circunferência?

Simples. Os egípcios usavam o metodo das cordas pra calcular a área de uma circunferência. Eles iam preenchendo a área circular com circunferencias de cordas. Todas essas circunferências eram concentricas, ou seja, todas tinham o mesmo centro.

  

Depois traçavam um corte do centro até a extremidade do maior círculo, como na figura a seguir

Esticavam então estas corda formando um triangulo. Supondo que o raio desta circunferência é de medida R, teremos o triangulo abaixo de altura R e base 2.π.R . Observe que de fato a base do triangulo tem essa medida, pois a ultima corda, a que forma a base do triangulo, é o perimetro da circunferência maior.

Portanto a área deste triângulo corresponde a área da circunferência de raio R. A área do triangulo vimos que é 

Ou seja, a área da circunferencia é dada por

Curiosidade Matematica.

Nesta postagem, falamos que a roda, uma das grandes invenções humanas, surgiu de forma natural. Sabemos que é a forma mais facil de locomoção. Mas voce sabia que é possivel a locomoção com uma roda quadrada?

Parece loucura, mas é possivel sim. Se, por exemplo, nossa bicicleta tivesse a roda quadrada, as nossa ruas é que deveriam ser um pouco diferentes para ela funcionar. Observe como deveriam ser:

Até a Proxima!

Quadrilateros Convexos

Ola Pessoal...
Como vimos anteriormente, os quadrilateros (formas geometricas de 4 lados) podem ser concavos ou convexos. Estudaremos agora um pouco mais sobre os quadrilateros convexos.


Trapézios

Trapezios são os quadrilateros convexos que possuem dois dos seus lados paralelos. Podemos classifica-los observando-se os seus lados e angulos.

É Trapézio Isosceles quando tiver dois lados paralelos e os lados opostos não pararelos tiverem mesma medida.

É Trapézio Retangulo quando possuir um angulo de 90º.

É Trápézio Escaleno quando todos os lados são diferentes.

Paralelogramo


São todos os quadrilateros que possuem lados opostos paralelos. Podemos classificar-los observando-se seus lados e angulos.

É Obliquangulo quando possuir lados opostos de mesma medida e dois de seus angulos de medidas menores que 90º.

 P ode acontecer de um paralelogramos obliquangulo possuir todos os lados de mesma medida. Neste caso especial dá-se o nome de Losago.

Um paralelogramo será chamado Retangulo quando possuir todos os angulos de 90º.

 P ode acontecer de um retangulo possuir todos os lados de mesma medida. Neste caso especial dá-se o nome de Quadrado.

 RESUMINDO

CURIOSIDADES MATEMATICAS:

Já percebemos pela definição acima que todo losango é um paralelogramo. Voce sabia que podemos dizer que todo quadrado é um losango?
Ficou confuso agora? Mas essa afirmação é verdadeira sim!
Observe que a condição para que um quadrilatero seja um losango é que possuam lados opostos paralelos e que todos os lados tenham mesma medida. Um quadrado possui essas caracteristicas!
Ou seja, alem de quadrado, essa figura pode ser chamada de losango e ainda de paralelogramo. Legal, ne?


Ahhh não acabou não!

Podemos perceber pelas definições acima que todo quadrado é um retangulo, certo? Mas voce sabia tambem que todo retangulo é um paralelogramo? Sim, é verdade! Para um quadrilatero ser um paralelogramo ele precisa apenas ter lados opostos paralelos. Observe que o retangulo tem os lados opostos paralelos, ele só apresenta uma caracteristica peculiar de ter todos os angulos retos (90º), portanto ele não deixa de ser um paralelogramo.


 É isso, espero não ter deixado voces confusos. Essas são as formas especiais de quadrilateros. Na proxima postagem conheceremos um pouco sobre areas de figuras geometricas. Até Lá!

Quadrilateros

Ola Pessoal..... Hoje vamos falar um pouco sobre quadrilateros.

Voce sabe o que é um quadrilatero?

Vimos que com um ou dois segmentos de reta não conseguimos construir nenhuma figura geometrica, mas com tres segmentos construimos um triangulo. Esta foi a primeira forma geométrica que abordamos. Podemos então dar mais um passo. Quais figuras podemos montar com quatro segmentos de reta?
Justamente, voce já deve ter percebido que quadrilateros são as figuras que podemos construir com 4 lados.

Um quadrilátero é um poligono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°.

Mas porque podemos dizer que a soma dos angulos internos de um quadrilatero é 360º?

Simples, faça dois triangulos que possuam um lado em comum (de mesma medida), conforme a figura abaixo

Lembre-se que já vimos na postagem anterior que a soma dos angulos internos de um triangulo é 180º.  Juntando os lados de mesma medida destes triangulos o que teremos? Um quadrilatero!

Assim, se um triangulo tem soma dos angulos internos de 180º, um quadrilateros terá o dobro desta medida, ou seja, 360º. Entendeu?


Classificação dos Quadrilateros

Podemos classificar os quadriláteros em concavos e convexos.

É convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não cruza o lado formado pelos dois outros vértices, do contrario é chamado concavo.

Exemplo de quadrilatero concavo

 Nas proximas postagens conheceremos melhor sobre os quadrilateros convexos.

Até lá!

Triangulos

Olá! Sintam-se bem vindos.

Muitas vezes pensamos que a Matematica é algo complicado e fora de nossa realidade, mas na verdade isso não ocorre. A matematica é mais proxima de nós do que imaginamos. Pense como seria se voce vivesse em um lugar que não conhecesse o conceito de números. Como voce faria para quantificar e comparar unidades e medidas? Imagine um local sem o conhecimento das figuras geometricas. Como voce conseguiria, por exemplo, construir sua casa?
É justamente pensando nestas situações que vamos começar a estudar um pouco sobre figuras geometricas e começaremos pela figura mais antiga, o TRIANGULO.

Triangulo

Mas como surgiu e quem descobriu essa figura?

O conceito de triangulo é tão antigo quanto os primeiros estudos de matematica. Provavelmente surgiu atraves de uma observação.
Em Geometria não se pode obter uma figura totalmente perfeita, nem com uma, nem com duas linhas retas. Mas três linhas retas em conjunção produzem um triângulo, a figura absolutamente perfeita.


Classificação dos triangulos

Os triangulos podem ser classifcados observando-se os lados e os angulos.

Com relação a observação das medidas dos lados podemos dizer que um triangulo:
É equilatero quando tem os tres lados de mesma medida.
É isósceles quando possuir dois lados de medidas iguais e um lado de medida diferente dos demais.
É escaleno quando possuir todos os lados de medidas diferentes.

Classificação dos triangulos quanto aos lados 

Com relação a observação das medidas dos angulos, podemos dizer que um triangulo:
É acutangulo quando todos os angulos internos medem menos de 90º.
É retangulo quando um de seus angulos internos medir 90º.
É obtusangulo quando um de seus angulos medir mais de 90º.
 

Classificação dos triangulos quanto aos angulos

Soma dos angulos interno de um triangulo

Estamos acostumados a ouvir

"A soma de todos os angulos internos de um triangulo é 180º "

Mas o que realmente significa isso? Como podemos ter certeza desta afirmação?

Primeiro precisamos entender o que significa 180º. Um instrumento que é usado para medir angulos chama-se transferidor. Olhando para ele podemos então perceber que uma semireta tem angulo de 180º.

Exemplo de transferidor

Assim podemos representar um angulo de 180º como a figura abaixo

 Agora podemos então entender porque podemos afirmar que a soma dos angulos internos de um triangulo é 180º. Para visualizarmos esta afirmação faça um triangulo qualquer de papel, pinte cada angulo interno deste triangulo e recorte o triangulo nas linhas pontilhadas como na gravura abaixo

 Em seguida junte os angulos e observe a figura que irá formar.

Entendeu o que a afirmação nos diz?

RESUMINDO